Фамилия Йовхимищ — редкий случай, где написание говорит о происхождении едва ли не больше, чем корень. Скорее всего, перед нами фонетический вариант фамилии Евхимич, а та, в свою очередь, образована от имени Евхим. Евхим — диалектная форма имени Ефим, которое восходит к церковному Евфимий. С греческого это имя переводится как «благожелательный». В русских говорах звук «ф» нередко заменяли на «х» — так и появился вариант Евхим.

Но ключевая деталь — суффикс. В славянских языках -ич традиционно образует отчество: Йовхимич буквально значит «сын Йовхима». Однако у белорусов этот суффикс давно закрепился как фамильный, а не только отческий. Именно в Беларуси фамилии на -ич особенно часты. Окончание -щ вместо -ч (Йовхимищ вместо Йовхимич) — скорее всего, графическая или орфографическая особенность, возможная при записи фамилии в документах прошлых веков, когда единых норм не было. Так что потомок человека по имени Йовхим (или Евхим) со временем и получил фамилию Йовхимищ — скорее всего, в западных губерниях Российской империи.