Фамилия Юшкенас — литовского происхождения, и это сразу объясняет её необычное для русского уха окончание. В Литве и соседних регионах суффикс -нас (на письме -as) — это стандартное окончание существительных мужского рода в именительном падеже. Если отбросить его, остаётся основа Юшкен-, которая восходит к уменьшительной форме имени Юшка (лит. Juška). Само имя Юшка — это народный вариант от канонического Юрий (лит. Jurgis) или, реже, от Иосиф (лит. Juozapas). Так что в основе фамилии лежит отчество: «сын Юшки» или «потомок Юшки».

Однако не стоит путать эту фамилию с русскими фамилиями на -енко или -евич. Литовская модель образования проще и прозрачнее: Юшка → Юшкенас (буквально «тот, кто относится к Юшке»). В XIX веке, когда в Российской империи шла массовая фиксация фамилий, литовские крестьяне и мелкая шляхта часто получали фамилии именно по такой схеме — от имени отца или деда. Поэтому предок носителя фамилии Юшкенас, скорее всего, был литовцем или жителем Западной Беларуси (где сильны литовские языковые следы) и звался Юшка.

Интересно, что в русской среде фамилию могли переделывать на свой лад — например, записывать как Юшкенов или Юшкин. Но исходная форма сохранилась именно в литовском ареале. Встречается она и в Латвии (с латышским окончанием -s — Юшкенс), но корень тот же. Споров о происхождении здесь почти нет: это типичный пример балтийской патронимической фамилии, которая буквально рассказывает, чей ты сын.