Фамилия Заеботский — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка было не столько именем, сколько характеристикой поведения. В ней слышен глагол «заеботить» — просторечное, но меткое слово, означавшее «замучить, забить, изнурить работой или придирками». В говорах бытовало и «заебота» — хлопотунья или назойливый человек. Так что первый носитель фамилии, скорее всего, получил прозвище Заебота за неуёмную активность, дотошность или склонность доставать окружающих. Не исключён и юмористический оттенок: так могли прозвать человека, который сам себя изводил работой.

Модель образования — суффикс -ск-, типичный для польской шляхты и русских дворянских фамилий, но в народной среде он нередко «примерялся» к любым основам, придавая фамилии оттенок «фамильности». То есть Заеботский — это не «сын Заеботы», а «из рода Заеботы» или «принадлежащий Заеботе». В русской традиции суффикс -ск- чаще встречается у выходцев из западных земель, поэтому не исключено, что фамилия возникла на границе великорусских и белорусских говоров, где глагол «заеботить» был особенно живуч.

Встречается фамилия крайне редко, в основном в центральных и южных областях России. В дореволюционных метрических книгах она почти не фиксируется — это говорит о том, что она могла быть неофициальным прозвищем, которое закрепилось в одном-двух селениях. Написание с «т» (Заеботский) устойчиво, хотя в диалектах возможны варианты вроде Заебодский или Заебоцкий — под влиянием «заебочиться» (засуетиться).

Сравнение с однокоренными фамилиями — Заеботин, Заеботов — показывает, что основа «заебот-» была продуктивной в северных и сибирских говорах, где «заебота» означала ещё и «забота, хлопоты». Но суффикс -ск- выбивается из этого ряда, намекая на то, что носитель фамилии мог быть не крестьянином, а, скажем, приказчиком или мелким чиновником, которому дали прозвище за служебное рвение. В любом случае, фамилия Заеботский — не про лень.