Фамилия Заиаржнова — редкий случай, когда даже при поверхностном взгляде заметна аномалия в написании. Скорее всего, перед нами не исходная форма, а искажённая запись: в русских фамилиях почти не встречается сочетание «иа» в корне, да ещё и с последующим «рж». Вероятнее всего, правильное написание — Заяржнова или Зааржнова. Без уточнения, как фамилия записана в документах семьи, мы можем разбирать только ту версию, которая логически вытекает из законов русской ономастики.

Если исходить из формы Заяржнова, основа фамилии — прозвище Заяр или Заярый. В южнорусских и украинских говорах «заярый» означало «горячий, вспыльчивый, ретивый», а иногда — «упрямый, своенравный». Человек с таким прозвищем мог получить его за неукротимый нрав или за то, что «зарья» (ярость, пыл) брала верх над рассудком. Суффикс -ов- указывает на типичную модель образования: Заяр → Заяров → Заяржнов. Вставка буквы ж (Заяржнов вместо Заяров) — диалектное или фонетическое явление, характерное для некоторых говоров, где звук [й] перед гласными переходил в [ж] (сравните: «заяц» и диалектное «заяж»). Таким образом, Заяржнов — это «сын Заяра» или «потомок Заярого».

Менее вероятная, но возможная версия — связь с географическим названием. В России есть река Заяр в бассейне Оби, а также несколько мелких речушек с похожими названиями. Житель берега такой реки мог получить прозвище Заярский, а его потомок — фамилию Заяржнов через ту же фонетическую перестройку. Однако для этой версии нет массовых документальных подтверждений.

Фамилия Заиаржнова в её нынешнем виде — почти наверняка ошибка переписчика или опечатка в паспорте. Встречающиеся в интернете единичные носители (обычно в Сибири и на Урале) подтверждают, что исходная форма — Заяржнов. Если вы ищете историю именно такого написания, стоит заглянуть в метрические книги XIX века: там фамилия могла писаться как Заяржнов, Заяржнев или даже Заяржанов.