Фамилия Закотянская — редкий пример, где географическая привязка почти наверняка перевешивает прозвищную или профессиональную версию. Основа здесь — топоним, а не личное имя или ремесло. Суффикс -ск- указывает на происхождение от названия места: такую фамилию обычно получали дворяне по своему поместью или, что в данном случае вероятнее, выходцы из села или хутора, переселившиеся в другую местность. Корень «Кот» в основе фамилии встречается часто (Котов, Котиков), но приставка «За-» меняет смысл: Закотянский — это не «сын Кота», а «тот, кто живёт за Котом» или, скорее, выходец из местности с названием вроде Закотье, Закотин, Закота.

Самый прямой путь к разгадке — поиск реального села или деревни с похожим именем. На картах Украины и юга России встречаются населённые пункты с корнем «Кот»: Котовка, Котельня, Котляры. Форма «Закотянский» характерна для украинской и южнорусской ономастики: суффикс -ян- (вместо более привычного -ск-) часто встречается в фамилиях, образованных от названий сёл на -яны (например, Гулянский, Рудянский). То есть предок носителя фамилии мог быть родом из села Закотяне или Закотино, а при переезде его прозвали «закотянский» — то есть «из Закотян».

Есть и более прозаичная, хотя и менее вероятная версия: прозвище Закотянин могли дать человеку, который жил за неким урочищем или оврагом, называемым Кот (от диалектного «кот» — небольшой залив, яма, а иногда и просто «кошачий» угол). Но в таком случае мы бы ожидали фамилию Закотин или Закотников. Форма на -ская прочно привязывает фамилию к дворянской или казачьей среде, где было принято именоваться по земле. В ревизских сказках и исповедных ведомостях XIX века такую фамилию стоит искать среди мещан и однодворцев южных губерний — Харьковской, Полтавской, Курской.

Написание «Закотянская» с двумя «я» — не ошибка, а типичная для украинской фонетики передача суффикса: в русском языке было бы «Закотенская», но южнорусское «я» закрепилось в документах. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был выходцем из небольшого хутора или слободы, название которой сегодня либо исчезло с карт, либо изменилось до неузнаваемости.