Фамилия Закотяшкина — редкий пример, где основа ясна, а суффикс ставит в тупик. Разбираем по порядку.

Корень здесь — кот или котя (уменьшительное от «кот»). С приставкой за- слово могло означать человека, который «закотяшил» — то есть, по одной из версий, заигрывал с кошками, подзывал их, баловался с ними. В русских говорах «котяшить» — ласкать, нянчить, возиться с кем-то, как с котёнком. Прозвище Закотяшка могли дать ласковому, мягкому по характеру человеку, любителю кошек или тому, кто постоянно мурлыкал себе под нос.

Главная загадка — суффикс -ин. В стандартной модели фамилий на -ин образуются от основ на -а/-я (Закотяшка → Закотяшкин). Но здесь окончание -а в именительном падеже женского рода. Фамилия Закотяшкина — это форма жены или дочери Закотяшкина, но в современном употреблении она закрепилась как неизменяемая женская фамилия. Мужской вариант — Закотяшкин — встречается реже, но именно он первичен.

Географически фамилия тяготеет к центральным и северным русским областям, где был распространён суффикс -ин и где сохранялись диалектные глаголы вроде «котяшить». Никакого отношения к татарским или финно-угорским корням здесь нет — основа чисто славянская, бытовая.

В сословном плане такие фамилии чаще всего крестьянские или мещанские. Дворянские роды с прозвищем «Закотяшка» неизвестны — слишком уж неофициальное, домашнее слово. Носитель фамилии Закотяшкин в XIX веке мог быть крестьянином из-под Костромы или Вологды, которого в деревне дразнили за любовь к котам.

Единственная сложность: не путать с фамилией Закотянский (от названия села Закотя) или Закот (от слова «закотить» — закатить). Закотяшкина — сугубо прозвищная, без топонимической подоплёки.