Фамилия Залышкина — женская форма, в основе которой лежит мужская фамилия Залышкин. Её образование типично для русской ономастики: суффикс -ин указывает на принадлежность, то есть «чей?» — «Залышкин» значит «сын Залышки» или «человек из семьи Залышкиных». Вопрос в том, что стояло за прозвищем Залышка.

Скорее всего, корень «залыш-» восходит к слову «залысина» или «залысый» — человек с залысинами, с лысеющим лбом. Прозвища по внешним признакам в русской среде были распространены: Лысый, Лыско, Лысак, а уменьшительная форма Залышка могла означать человека с заметной, но не полной лысиной. В говорах слово «залышка» могло иметь и переносное значение — так иногда называли хитрого, себе на уме человека, который «облысел» не столько от возраста, сколько от ума.

Менее вероятна связь с диалектным «залыгать» (обманывать, врать) — от него могло возникнуть прозвище Залыга, а затем Залыжка, но чередование г/ш в этом случае нетипично. Поэтому версия с залысиной — основная.

Фамилия Залышкин встречается в основном в центральных и северных регионах России, особенно в Вологодской и Архангельской областях, где сохранились архаичные говоры. Там же бытуют однокоренные фамилии Залысин, Залысный. Сословно носители почти наверняка были крестьянами или посадскими людьми, так как фамилии на -ин у дворян образовывались редко и в основном от полных канонических имён. Залышкин — это прозвище, закреплённое в документах, скорее всего, в XVII–XVIII веках, когда шло массовое закрепление фамилий за крестьянством.

Если ваши предки — Залышкины, с большой долей вероятности они происходят из северной или центральной России, а их родоначальник получил прозвище за заметную особенность внешности, которая и стала родовым именем.