Фамилия Засунько — редкий случай, когда в основе прозвища лежит глагол в повелительном наклонении. Обычно такие фамилии (вроде Убейконь, Держикрай, Сорвиголова) давали людям с яркой, часто неудобной для окружающих манерой поведения. Но с Засунько всё сложнее: глагол «засунь» звучит слишком бытово и неоднозначно.

Скорее всего, перед нами прозвище, образованное от глагола «засунуть» в значении «спрятать, убрать, положить куда-то». В русских говорах «засунькой» могли назвать неаккуратного человека, который вечно засовывает вещи не на место, или, наоборот, того, кто мастерски прячет что-либо. Другая версия — прозвище могло относиться к неторопливому, медлительному человеку, которого подгоняли: «Да засунь ты уже!» — то есть «закончи, сделай наконец».

Украинский суффикс -к-о здесь указывает на происхождение с территории современной Украины или юга России. Окончание -о характерно для западноукраинских и южнорусских фамилий, образованных от прозвищ. Фамилия Засунько не относится к дворянским или старым боярским родам — это типичная казацкая или крестьянская фамилия, возникшая в среде, где прозвища давали по поведению, а не по профессии.

Встречается фамилия в основном в Черниговской, Сумской и Полтавской областях, а также среди переселенцев на Кубани. В XIX веке носители фамилии записаны в ревизских сказках как государственные крестьяне и казаки. Никаких древних родовых гербов или знатных предков у Засунько нет — это «говорящая» фамилия, за которой стоит живое народное слово.