Фамилия Затевкова — женская форма, а её мужской вариант — Затевков. В центре внимания здесь не столько корень, сколько необычный суффикс и способ образования. Фамилия явно происходит от прозвища или имени Затевко, которое, в свою очередь, образовано с помощью уменьшительно-ласкательного суффикса -ко, характерного для украинской, белорусской и южнорусской ономастики. Суффикс -ов в окончании указывает на принадлежность: «чей?» — Затевков, то есть потомок Затевка.

Корень «затев-» восходит к глаголу «затеять» или существительному «затея». В старых говорах «затея» означала не только замысел или выдумку, но и нечто затейливое, хитроумное, а иногда — ссору или заварушку. Прозвище Затевко могли дать человеку изобретательному, склонному к затеям и проказам, либо, напротив, тому, кто постоянно ввязывался в сомнительные предприятия. Второй, менее вероятный вариант — от диалектного «затевать» в значении «начинать», «зачинать»: так могли назвать первенца или зачинателя какого-либо дела.

Географически фамилия тяготеет к юго-западным областям России и востоку Украины, где суффикс -ко особенно распространён. Встречается она редко, что говорит о локальном происхождении: предки носителей, скорее всего, жили в одном селе или волости. Сословно — это крестьянская или казачья среда: прозвища с уменьшительными суффиксами в XIX веке чаще фиксировались у простого населения, а не у дворянства. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) модель на -ов от прозвищ на -ко описывается как типичная для украинского влияния, но Затевков не упоминается — это редкий случай, не попавший в массовые сводки.

Таким образом, фамилия Затевкова донесла до нас прозвище предка, который, судя по всему, был человеком с фантазией — либо затейником, либо тем, кто постоянно что-то затевал.