Фамилия Заварнова — женская форма фамилии Заварнов, которая образована по самой распространённой в русском языке модели: от основы прозвища или имени через суффикс -ов. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Зава́рнова, хотя в разговорной речи встречается и вариант с ударением на последний слог.

Корень здесь — «завар-», который сразу отсылает к глаголу «заварить» и существительному «заварка». Самое прямое значение — человек, который заваривает чай или готовит заварку. В крестьянском быту прозвище Заварной или Завара мог получить тот, кто славился умением заваривать травяные сборы, или же работник, отвечавший за приготовление горячего питья в артели, на постоялом дворе. В некоторых говорах «заварой» называли круто заваренную кашу или кисель, так что прозвище могло закрепиться за любителем или изготовителем такой еды.

Менее очевидная, но правдоподобная версия связана с профессиональным жаргоном. В среде мастеровых, особенно кузнецов и металлургов, «заваривать» означало сваривать металл, соединять детали. Мастер по заварке, кузнец-сварщик мог получить прозвище Завар, а его потомки — фамилию Заварновы. Эта версия интересна тем, что связывает фамилию не с домашним хозяйством, а с ремеслом, которое в старину ценилось высоко.

Суффикс -ов указывает на принадлежность: Заварнов — буквально «сын Заварна» или «из рода Заварна». Сама форма Заварна — это усечённый вариант прозвища Заварной, что типично для русской антропонимии (сравните: Умный — Умнов, Весёлый — Веселов). Географически фамилия встречается рассеянно, без ярко выраженного гнезда, что говорит о её профессиональном, а не территориальном происхождении: носители разбрелись по стране вместе с ремеслом.

В словарях Б. Унбегауна и В. Никонова фамилия Заварнов не упоминается в числе самых известных, но её прозрачная этимология и связь с живым русским глаголом делают разбор надёжным: перед нами фамилия человека, чей предок был либо чаевником, либо мастеровым сварщиком, либо просто получил прозвище за любовь к заваренной пище.