Фамилия Завескин образована от прозвища или нецерковного имени Завеска. В русских говорах «завеска» — это, прежде всего, фартук, передник. Такое прозвище мог получить либо портной, либо человек, который постоянно носил фартук по роду занятий — например, кузнец, пекарь или мельник. Менее вероятная, но возможная версия: «завеской» в некоторых областях называли занавеску, ширму или полог, и тогда прозвище могло закрепиться за ткачом или торговцем тканями.

Фамилия строится по типичной восточнославянской модели с суффиксом -ин, который присоединяется к основам на -а. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Завескин буквально означает «сын Завески» или «человек из семьи Завески». Поскольку прозвище Завеска не было редким, фамилия могла возникнуть независимо в разных регионах, но наиболее вероятна её связь с северными и центральными областями России, где слово «завеска» в значении «фартук» было особенно употребительно.

В ономастике фамилия Завескин интересна тем, что её основа не уходит в древние календарные имена, а прямо указывает на бытовую реалию. Это фамилия из разряда «профессиональных прозвищ», но не прямая, как Кузнецов или Мельников, а косвенная: прозвище дано не по названию ремесла, а по предмету, с которым ремесленник работал. Подобный словообразовательный ход встречается у фамилий Фартуков, Передников, Рукавицын.

Встречаемость фамилии невысокая. В современных справочниках она фиксируется, но не входит в списки самых распространённых. Это типичная «фамилия одного корня»: её носители, скорее всего, происходят из одного или нескольких локальных гнёзд, где прозвище Завеска было в ходу. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано — это фамилия крестьянская или мещанская, что подтверждается и её «ремесленным» значением.