Фамилия Завескина — женская форма мужской фамилии Завескин, и её происхождение неочевидно. В русском языке суффикс -ин указывает на принадлежность: Завескин — это «чей?» — сын или потомок человека по прозвищу Завеска. Само слово «завеска» в старину имело два основных значения. Первое — это занавеска, полог, кусок ткани, которым что-то закрывают. Второе, более редкое и диалектное, — передник, фартук. Поэтому прозвище Завеска могли дать либо портному, либо торговцу тканями, либо человеку, который постоянно носил фартук по роду занятий (например, повару, кузнецу или ремесленнику). Версия с «занавеской» менее вероятна для прозвища — скорее, это было бы насмешливое именование неряшливого или скрытного человека.

Интересно, что фамилия Завескин (и Завескина) встречается преимущественно в центральных и северных регионах России, особенно в старых переписях Вятской и Костромской губерний. Это говорит о том, что корень не южный и не украинский: там использовали бы суффикс -енко или -ук. В ономастике есть и альтернативная гипотеза: в некоторых говорах «завеска» означала также закладку в книге или завязку у мешка, но это значение слишком узкое, чтобы стать основой массового прозвища.

Сравните с однокоренными фамилиями: Завесов, Завесовский, Завесный. У них общая основа «завес» (занавес), но суффикс -ин в фамилии Завескин привязывает её именно к личному прозвищу, а не к названию предмета. Таким образом, предок носительницы этой фамилии, скорее всего, был человеком, чья работа была связана с тканью: портной, закройщик или продавец мануфактуры. Фамилия сохранила память о ремесле, которое в XV–XVII веках было уважаемым и востребованным.