Фамилия Завиялов — яркий пример того, как прозвище, данное человеку по его поведению или внешности, закрепилось в роду и дошло до наших дней в форме отчества. В её основе лежит древнерусское слово «завиялый» — так говорили о том, кто завял, поблёк, потерял свежесть. В прямом смысле — о засохшем растении, в переносном — о человеке болезненном, хилом или просто уставшем, потерявшем силы. Не исключено, что прозвище Завиялый могли дать и тому, кто постоянно жаловался на недомогание или выглядел старше своих лет.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: суффикс -ов присоединился к основе прилагательного «завиялый», образовав отчество-притяжательность. Буквально Завиялов — «сын Завиялого». Фамилия стоит в ряду однокоренных, но менее распространённых: Завялов, Завялкин. В них тот же корень «вя-» (от «вянуть»), но с разными приставками и суффиксами.

Интересно, что в отличие от более частой фамилии Завялов (от «завялый»), форма с буквой «и» — Завиялов — встречается реже. Это может говорить о диалектном произношении: в некоторых говорах «я» после «в» переходило в «и» («завиялый» вместо «завялый»). Либо же это результат орфографической случайности при записи фамилии в документах.

Социального статуса носителей фамилия не раскрывает: Завияловым мог быть и крестьянин, и посадский человек. В крестьянской среде прозвища такого типа давали без злого умысла — просто фиксировали заметную черту. В современных архивах фамилия встречается разрозненно, без ярко выраженного регионального гнезда, что указывает на её спорадическое возникновение в разных местах.

Версия о связи со словом «завия» (завиток, завихрение) маловероятна: такое значение не дало бы суффикса -ял-, да и семантически прозвище «завия» скорее дало бы фамилию Завиин или Завиев. Поэтому основной и надёжный вариант — от «завиялый» в значении «увядший, ослабевший».