Фамилия Завиялова — женская форма, мужская — Завиялов. В её основе лежит нецерковное имя или прозвище Завиял. Слово «завиялый» в русских говорах означало «завядший, увядший, поблекший» — от глагола «завянуть». Прозвище могли дать человеку болезненному, бледному, выглядевшему старше своих лет, или, напротив, в качестве охранительного имени: чтобы злые силы не тронули ребёнка, его нарекали «увядшим», как бы пряча от сглаза.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ов(-а) присоединялся к основе, указывая на принадлежность. Завиялов — буквально «сын Завияла». Фамилия фиксируется в документах XVII–XVIII веков, в основном в северных и центральных губерниях России. В переписных книгах и ревизских сказках встречаются крестьяне и посадские люди с этой фамилией в Вологодской, Костромской и Вятской губерниях.

Интересная деталь: в старом написании фамилия могла выглядеть как Завялов, через «я» после «в». Чередование «я» и «е» в корне (завялый — завелый) породило и вариант Завеялов, но он встречается реже. Фамилия Завиялова не относится к числу распространённых, но и не является редкой — её носители живут по всей России, хотя заметная концентрация сохраняется в Поволжье и на Урале, куда переселялись крестьяне из северных регионов.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или ремесленниками. Дворянских родов Завияловых не известно — фамилия осталась в народной среде, без громкой истории, но с живой связью с русским языком и бытом.