Фамилия Заворыкина — женская форма фамилии Заворыкин, и её разбор стоит начать с редкого и неочевидного корня. В русских фамилиях на -ин основа чаще всего восходит к прозвищу или имени, оканчивающемуся на -а/-я, поэтому Заворыкин — это «чей?» — сын или потомок человека по прозвищу Заворыка.

Самая правдоподобная версия связывает прозвище Заворыка с диалектным глаголом «заворыкать» — в некоторых говорах (особенно северных и уральских) это означало «заговорить быстро, невнятно, тараторить», а также «заворчать, зароптать». Человек с таким прозвищем мог быть говорливым, неугомонным или склонным к ворчанию. Менее вероятна, но тоже возможна связь со словом «ворыка» — в старых русских говорах так называли волка (от «ворчать», «ворыкать»). Тогда Заворыка — это человек, похожий на волка: угрюмый, рычащий или, наоборот, получивший прозвище по тотемному звериному имени.

Суффикс -ин указывает на древнюю модель образования фамилий в среде крестьянства и посадских людей, особенно в северных и центральных регионах России. В отличие от фамилий на -ов, которые чаще давали по именам на твёрдый согласный (Иван — Иванов), -ин закрепился за основами на -а/-я. Фамилия Заворыкин — не дворянская и не книжная, она бытовала в среде простого люда. Встречается она преимущественно в Вологодской, Кировской областях и в Пермском крае — как раз в ареале бытования диалекта, где слово «заворыкать» было в ходу.

Однокоренных фамилий немного, но они есть: Заворыгин, Заворызгин (с другим суффиксом, но той же диалектной основой). Интересно, что написание с буквой «ы» после «р» — архаичное и устойчивое: в современных говорах могло бы звучать и как «Заворыка», но фамилия сохранила старую орфографию. Если ваши предки носили фамилию Заворыкины, скорее всего, они были крестьянами или ремесленниками из северных русских земель, а родоначальник получил прозвище за особенность речи или характера — незлобивую ворчливость или быструю говорливость.