Фамилия Завойська — женская форма фамилии Завойський, и её происхождение напрямую связано с географическим названием. Основа здесь — топоним Завой (или Завойе), а суффикс -ськ- указывает на связь с местностью. В польской и украинской ономастике такие фамилии (на -ський/-цький) традиционно давали дворянам, владевшим землёй, или людям, жившим в определённом селе. В данном случае предок Завойського мог быть помещиком из села Завой или выходцем оттуда.

Слово «завой» в славянских языках имеет несколько значений. Чаще всего это «излучина реки», «место, где река делает поворот» — то есть поселение при речной петле. В польском «zawój» означает ещё и «завиток», «свёрток», но для топонима первично именно географическое описание. Села с названием Завой есть в Польше (например, в Малопольском воеводстве) и на западе Украины. Фамилия Завойська, таким образом, указывает на корни из этих регионов, скорее всего из исторической Галиции или Волыни.

Поскольку фамилия заканчивается на -ська, а не на -ская, это выдаёт её польское или украинское происхождение (в русском языке было бы Завойская). В документах Российской империи носителей такой фамилии могли записывать через «о» или «а» в зависимости от диалекта, но исходная форма — с «о». Если ваши предки носили эту фамилию, они, вероятно, принадлежали к мелкой шляхте или зажиточным крестьянам, чьё прозвище закрепилось по месту жительства. Встречается фамилия и сейчас, но довольно редка, что типично для локальных топонимических фамилий, не распространившихся широко.