Фамилия Завсигалова — одна из тех, что сразу привлекает внимание своей необычностью. Она не вписывается в стандартные модели на -ов/-ев или -ин, и это уже подсказка: перед нами, скорее всего, не патроним (не «сын такого-то»), а бывшее прозвище, которое застыло в форме родительного падежа множественного числа. Если фамилия Иваненко буквально означала «сын Ивана», то здесь механизм другой: Завсигалова — это «из тех, кто завсегдатай», то есть постоянный посетитель, завсегдатай.

Основа фамилии — диалектное слово «завсигда» или «завсегда», то есть «всегда». В северных и сибирских говорах так могли назвать человека, который постоянно торчал в одном месте: в кабаке, на базаре, у соседей. Суффикс -ов- в данном случае не отчественный, а присоединительный: он оформлял прозвище в фамилию по той же модели, что и, скажем, Безруков или Горемыков. То есть Завсигалов — это не «сын Завсигала», а «человек, которого прозвали Завсигал» (постоянный, неизменный).

Ударение в фамилии плавающее: в быту чаще слышится Завсига́лова, но по правилам русского языка, если исходить из наречия «завсегда», логичнее За́всигалова. Встречается также вариант написания через «е» — Завсегдалов, что подтверждает связь с говорным «завсегда». В дореволюционных метрических книгах эта фамилия фиксировалась в основном в среде государственных крестьян и мещан северных губерний — Вологодской, Архангельской, Вятской. Там прозвище «завсегдатай» могло закрепиться за человеком, который редко покидал родную деревню или, наоборот, был завсегдатаем постоялого двора.

Интересно, что в отличие от многих фамилий, образованных от занятий или внешности, Завсигалова описывает модель поведения. Это редкий случай, когда фамилия — почти характеристика личности, данная со стороны. Никакого отношения к «сигам» или «сиганию» она не имеет: корень здесь чисто наречный, а -сиг- — результат фонетического изменения («завсигда» > «завсига»). Так что предки носителей этой фамилии, скорее всего, были людьми постоянными, привязанными к одному месту или одному делу — настолько, что это стало их именем.