Фамилия Завьюсов — один из тех редких случаев, когда исходное слово почти исчезло из языка, а фамилия его законсервировала. Корень здесь — «вьюс». На слух он кажется искажённым, но на самом деле это диалектная форма слова «выюс» или «вьюс» — так в некоторых русских говорах (особенно северных и сибирских) называли выпь. Выпь — птица из семейства цаплевых, известная своим громким, трубным криком, который в народе сравнивали с рёвом быка. Отсюда и одно из её прозвищ — «водяной бык». Форма «вьюс» возникла из-за аканья или просто местного произношения: «выпь» превратилась в «вьюс», а затем в «выюс».

Суффикс «-ов» указывает на стандартную русскую патронимическую модель — «чей?» — то есть сын Завьюса. А приставка «за-» в прозвище Завьюс могла означать место или свойство: «тот, кто за выпью» (охотник, живущий у болота, где водится выпь) или «завьюсный» — то есть похожий на выпь, возможно, обладающий таким же громким или неприятным голосом. Вряд ли прозвище давали за внешнее сходство с птицей — выпь невзрачна, зато её крик запоминается надолго. Скорее всего, предок Завьюсовых был либо охотником на болотную дичь, либо человеком с зычным голосом, либо жил в глухом, болотистом месте, где эти птицы водились.

Любопытно, что фамилия Завьюсов практически не встречается в центральных областях России. Её очаги — север и северо-восток: Вологодская, Архангельская, Кировская области, а также Урал и Сибирь, куда фамилию занесли переселенцы. Именно там диалектная форма «вьюс» была в ходу, а в средней полосе говорили «выпь» или «бухало», поэтому фамилии с этим корнем не возникло. Сравните с однокоренной, но более узнаваемой фамилией Выпов — она тоже редка и встречается в тех же регионах.

В написании фамилии возможна путаница: иногда её путают с Завьюсовым (от «вьюга»), но это разные корни. Этимологически Завьюсов — это «птичья» фамилия, а не «погодная». Если ваш предок носил такое прозвище, он, скорее всего, жил у воды, промышлял охотой или рыбалкой и, возможно, обладал голосом, который не спутаешь с чужим.