Фамилия Завесов образована от прозвища Завес — так в некоторых русских говорах называли занавес, полог, а также завешенное чем-то место. Человек мог получить такое прозвище, если торговал тканями, шторами или полотном, либо жил в доме, где вместо дверей висела завеса. Но есть и другая, менее очевидная версия: в северных и сибирских диалектах «завес» означало «укрытие, защита от ветра», а в переносном смысле — «заступник, оберегающий». Тогда прозвище давали тому, кто брал под опеку слабых или прятал беглых.

Суффикс -ов указывает на принадлежность: Завесов — сын или потомок Завеса. Это типичная патронимическая модель, самая распространённая в русских фамилиях. Встречаются однокоренные варианты: Завескин, Завесный, Занавесов, но Завесов — наиболее частый.

Фамилия редкая, в дореволюционных переписях почти не фиксируется. Основной ареал — центральные области России (Ярославская, Костромская, Владимирская губернии), где промысел тканей и торговля холстом были развиты. Встречается и на Урале, куда переселенцы принесли прозвище вместе с ремеслом.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) Завесов не упоминается — это говорит о том, что фамилия локальная, не попавшая в общерусские списки. Но именно такие фамилии точнее всего хранят память о быте и занятиях предков: завесы в крестьянском доме были не только утварью, но и символом разделения пространства на «чистое» и «рабочее», и прозвище могло закрепиться за тем, кто следил за этим порядком.