Фамилия Завесина — женская форма мужской фамилии Завесин, и её разбор стоит начать с суффикса. Суффикс -ин указывает на принадлежность: в основе фамилии лежит прозвище или имя отца, которое закрепилось как «сын Завесы» или «внук Завесы». Такая модель типична для северных и центральных регионов России, где -ин было основным патронимическим суффиксом.

Корень «завес» неоднозначен. Самое прямое значение — «то, чем завешивают, закрывают»: занавес, полог, покров. Прозвище Завеса могли дать человеку, который работал с тканями — портному, драпировщику, торговцу шторами, либо тому, кто постоянно носил длинную, скрывающую фигуру одежду. В некоторых говорах «завеса» означала также «защита, укрытие», поэтому прозвище могло закрепиться за осторожным, скрытным человеком или, наоборот, за тем, кто служил «прикрытием» для других.

Менее очевидная, но возможная версия — связь с диалектным глаголом «завесить» в значении «завешивать товар» (от «вес»). В этом случае Завеса — прозвище торговца, который отвешивал товар на весах, то есть весовщика или лавочника. Эта гипотеза слабее, так как в русской ономастике прозвища от «веса» чаще давались через корень «вес» (Весов, Весовщиков), а не через приставку «за-», но полностью исключать её нельзя из-за возможной игры слов в живой речи.

Географически фамилия Завесин встречается редко, что говорит о её локальном происхождении. Следы можно найти в старых переписях центральных губерний, особенно в Тверской и Ярославской областях, где суффикс -ин был особенно распространён, а ремёсла, связанные с тканями и торговлей, — обычным делом. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано: скорее всего, предки Завесиных были крестьянами или посадскими людьми, получившими фамилию по прозвищу отца в XV–XVII веках.

Таким образом, фамилия Завесина образована от прозвища Завеса, которое, вероятнее всего, относилось к роду занятий (портной, драпировщик) или бытовой черте человека. Это типичная северорусская патронимическая фамилия без сложных этимологических загадок, но с живым и понятным корнем, который легко восстанавливается по словарю.