Фамилия Жадринский, скорее всего, имеет географическое происхождение, указывающее на связь предка с местом под названием Жадрино, Жадринск или подобным. Это типичная «топонимическая» фамилия, образованная по модели «название поселения + суффикс -ский», которая в XV–XIX веках закреплялась за дворянами, получившими земли в этих местах, или за духовенством, менявшим фамилию при поступлении в семинарию.

Основа фамилии — корень «жадр-». В русских говорах слово «жадра» или «жадрый» означало «горячий, жаркий» (сравните: «жадрить» — сильно греть, палить). Однако есть и менее очевидная версия: в некоторых диалектах «жадрый» — это «жадный, скупой», но такое значение для названия деревни маловероятно. Чаще всего топоним Жадрино связывают с рельефом или природными условиями: «жадное место» — открытое солнцу, сухое, без тени.

Модель образования — суффикс -ин- в названии поселения (Жадрино) плюс фамильный суффикс -ский. Обратите внимание на написание: в вашем запросе указано «Жадринскйи» — это, вероятно, опечатка. Правильная форма — Жадринский, с мягким знаком в суффиксе. Встречается также вариант Жадринской (с ударением на последний слог), что характерно для южнорусских и украинских фамилий.

География бытования фамилии сосредоточена в центральной России и Поволжье. Наибольшая плотность носителей фиксируется в Нижегородской, Костромской и Ивановской областях — именно там есть несколько деревень с названием Жадрино. Это позволяет предположить, что предки могли быть выходцами из крестьян или однодворцев, получивших фамилию по месту жительства уже после отмены крепостного права, когда крестьянам массово давали «уличные» фамилии от названий деревень.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Жадрин, Жадринов) показывает, что Жадринский — более поздняя и «книжная» форма. Если Жадрин мог возникнуть как отчество от прозвища Жадра, то Жадринский прямо указывает на владение или происхождение из конкретного села. В духовных училищах такую фамилию могли дать семинаристу из села Жадрино, чтобы отличать его от однофамильцев.

В целом, фамилия Жадринский — это компактная географическая метка, которая ведет к небольшой группе деревень с «горячим» названием. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в документах переписей XVIII–XIX веков по Костромской или Нижегородской губернии — именно там, скорее всего, и находилось то самое Жадрино.