Фамилия Жайлыбай — редкий случай в русском ономастиконе. Она не укладывается в привычные славянские модели на -ов, -ин или -ский. Её основа — тюркская, казахская, и образована она напрямую от личного имени, а не через суффикс. Поэтому носитель такой фамилии почти наверняка имеет казахские или, шире, тюркские корни.

Разбираем имя-основу. «Жайлы» в казахском языке означает «удобный», «благоприятный», «приятный». «Бай» — это «богатый», «господин», «владелец». Вместе «Жайлыбай» можно перевести как «богатый благополучием» или «владеющий покоем». Это составное имя с пожелательной семантикой: родители нарекали так сына, желая ему безбедной, спокойной и счастливой жизни. Такая модель (прилагательное + бай) типична для казахской антропонимии: вспомним Кенесбай (совет + бай), Тлеубай (желание + бай).

Фамилия, скорее всего, оформилась в XIX–XX веках, когда у казахов, вошедших в состав Российской империи, начали фиксировать фамилии по отчеству или по имени деда. Жайлыбай — это не прозвище по ремеслу, а именно родовое имя, перешедшее в фамилию без изменений. Встречается она преимущественно в Казахстане, особенно в южных и западных регионах. В русском написании возможны варианты: Жайлыбаев, Жайлыбай — второй вариант, без суффикса, говорит о более поздней или прямой фиксации исходной формы.

С точки зрения словообразования, это чистый антропоним без фамильного форманта, что редкость для русской традиции, но норма для тюркской. Если вы носите фамилию Жайлыбай, ваши предки не были крестьянами в привычном русском понимании — скорее всего, они были скотоводами или воинами из степных родов, где имя отражало не сословие, а личное качество или пожелание судьбы. Фамилия не имеет отношения к славянским корням, и искать её в словаре Унбегауна бесполезно — это отдельная, восточная линия русской фамильной системы.