Фамилия Жайтемирова — это женская форма, а мужская, Жайтемиров, образована по самой распространённой в русском языке модели: от основы прозвища или имени через суффикс -ов. Но вот что в этой фамилии необычно: основа Жай- явно не славянская, а тюркская, и разбор стоит начать с неё.

Корень «жай» в тюркских языках (казахском, ногайском, башкирском, татарском) многозначен. Самое вероятное значение — «лето» или «летний». В казахском «жай» — это лето, а «жайлау» — летнее пастбище. Вторая часть, «темир», — это общеизвестное тюркское слово «железо». Вместе «Жай-Темир» могло быть личным именем или прозвищем со значением «летнее железо» или «железо лета» — звучит как поэтическая метафора, но в реальности такие двухосновные имена (сложенные из двух значащих слов) были типичны для тюркской ономастики. Вторая версия, менее популярная, но тоже возможная: «жай» как форма глагола со значением «расстилать, расправлять». Тогда «Жай-Темир» могло означать «кузнец, расправляющий (размягчающий) железо» — то есть прозвище по ремеслу.

С точки зрения географии, фамилия Жайтемиров (и Жайтемирова) чаще всего встречается у народов Северного Кавказа, особенно у чеченцев и ингушей, а также у тюркоязычных групп Ставрополья и Астраханской области. Это не случайно: в чеченском и ингушском языках много заимствований из тюркских, и имя Жайтемир (Джантемир, Янтемир) фиксируется в местной антропонимии. В отличие от русских фамилий на -ов, которые часто указывали на принадлежность отцу («чей сын?»), у народов Кавказа эта модель могла быть просто русифицированной формой записи родового имени или отчества при переписях.

Интересная деталь: в написании фамилии иногда путают гласную в первом слоге. Можно встретить варианты «Джайтемирова» или «Жантемирова». Переход «ж» в «дж» и наоборот — типичное явление при передаче тюркских звуков русскими буквами. Если ваш предок носил фамилию Жайтемиров, он почти наверняка происходил из среды, где говорили на одном из тюркских или кавказских языков, и его имя-прозвище было связано либо с природным циклом и крепостью (как у железа), либо с кузнечным делом.