Фамилия Жевжиков начинается с разбора прозвища Жевжик. В народной речи «жевжик» означало малорослое дитя. Скорее всего, так называли самого младшего сына в семье или ребёнка, который был заметно ниже сверстников. В этом прозвище слышится скорее ласка, чем насмешка, — им могли выделить любимого, младшенького.

Не исключено, что Жевжик был не прозвищем, а домашним именем. В русских деревнях до фамилий детей нередко называли по росту или положению в семье, и такие имена приживались. Со временем форма Жевжик закрепилась как основное именование человека, а его дети стали Жевжиковыми: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?» — сын Жевжика).

Обратите внимание на редкость корня. Фамилия не связана с распространёнными ремёслами или географией, а целиком держится на бытовом прозвище. В ономастических словарях она почти не упоминается, что говорит о её узколокальном происхождении — скорее всего, в одной-двух волостях на юге или западе России, где слово «жевжик» бытовало в говорах.