Фамилия Зих — редкий случай в русском ономастиконе. Она не вписывается в привычные модели на -ов, -ин или -ский, и её происхождение почти наверняка не связано с русским языком. Скорее всего, это фамилия немецкого, еврейского или польского корня, которая попала в русскую среду через миграцию или переселение.

Первое, что приходит на ум — немецкая фамилия Zieh или Zich. В немецком языке слово Zieh может означать «тяга», «переезд», а в диалектах — «упрямство». Однако чаще Zich — это вариант фамилии Ziche, восходящей к средневерхненемецкому zîche — «коза». Прозвище могли дать пастуху, упрямому человеку или тому, кто торговал козьим молоком. Вторая версия — еврейская фамилия Зих. У ашкеназских евреев она могла образоваться от идишского zikh — «себя», но это скорее случайная запись или сокращение от более длинной фамилии (например, Зихерман). Третья версия — польская или украинская: в польском языке есть слово zich — междометие, вроде «цыц», но как прозвище оно маловероятно.

В России фамилия Зих встречается крайне редко, в основном в городах, куда в XVIII–XIX веках приглашали немецких колонистов — Поволжье, Санкт-Петербург, Москва. Носителями могли быть обрусевшие немцы или евреи, сменившие место жительства. Суффикс -их в русских фамилиях обычно указывает на принадлежность к роду (сравните: Петровых, Глухих), но здесь это просто часть основы — фамилия не переоформлялась под русские стандарты, а была записана в документах так, как звучала.

Если ваши предки носили фамилию Зих, стоит искать их корни в метрических книгах лютеранских или иудейских общин. Скорее всего, исходная фамилия была длиннее или имела иное написание, упрощённое при записи. В любом случае, это не крестьянская фамилия из русской глубинки, а след миграционных волн, которые принесли в Россию людей с немецкими и еврейскими корнями.