Фамилия Зилинька — редкий случай, когда в основе лежит не прозвище или имя, а географическое название, причём с яркой региональной окраской. Скорее всего, это латышская или литовская фамилия, записанная в русской передаче. Ударение, вероятно, падает на второй слог: Зи́линька.

Разберём корень. В латышском языке есть слово «zīle» — «синица», а также «zīlīte» — «синичка» (уменьшительно-ласкательная форма). Суффикс -iņš (в женском роде -iņa) — один из самых распространённых в латышских фамилиях, он указывает на уменьшительность или принадлежность. Таким образом, Zīliņš или Zīliņa — это «синичкин», «относящийся к синичке». Русское окончание -ка — типичная адаптация при переносе фамилии в русскую среду: Zīliņa превратилась в Зилинька.

Версия с литовским происхождением тоже возможна, хотя менее вероятна. В литовском есть слово «zylė» — «синица». Фамилия Zylė или Zylis могла быть русифицирована в Зилинька, но характерный латышский суффикс -iņš делает первую гипотезу более убедительной.

Что означала такая фамилия для предка? В отличие от русских «птичьих» фамилий (Соловьёв, Воробьёв), которые часто давали по прозвищу за сходство с птицей, латышские фамилии на -iņš могли указывать на место жительства или характер местности. Например, человек, живший у рощи, где много синиц, или в доме с названием «Синичкин». Встречается и вариант, что прозвище «синичка» давали маленькому, юркому или голосистому человеку.

Географически фамилия Зилинька должна быть привязана к Латгалии или Земгале — историческим областям Латвии, где особенно распространены фамилии с этим суффиксом. В России она встречается крайне редко, в основном у потомков латышских переселенцев, которые в XIX — начале XX века переезжали в Сибирь, на Урал или в Поволжье.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, что в латышской среде есть Zīliņš (мужской род) и Zīliņa (женский род), а в русском быту они могли превращаться в Зилин, Зилинский или Зилинька. Последняя форма — самая редкая, она сохранила исходный суффикс почти без изменений, что делает её ценным свидетельством балтийского происхождения.