Фамилия Зябельцев — редкая и по звучанию, и по корню. Если вы её носите, то, скорее всего, ваши предки происходят с территории бывшего Великого княжества Литовского или северо-западных областей России, где были сильны польские и белорусские говоры.

Разбираем по порядку. Основа фамилии — «зябель». В русском литературном языке такого слова нет, но в диалектах Псковщины, Смоленщины и в белорусском языке «зябель» — это сито для просеивания муки, решето. Человек, делавший такие сита или торговавший ими, мог получить прозвище Зябель. Вторая версия, более прозаичная: в тех же говорах «зяблый» — значит мёрзлый, зябнущий. Прозвище Зябель могли дать очень мерзлявому или худому, «зябкому» человеку. Третья, менее вероятная, но возможная версия — искажённое немецкое «Zabel» (соболь) или польское «Zając» (заяц), но для этого нет прямых лингвистических подтверждений.

Суффикс «-цев» указывает на модель образования, характерную для русских фамилий второй половины XVII–XIX веков. Она означает принадлежность: Зябельцев — сын Зябельца, то есть потомок человека по прозвищу Зябелец. Суффикс «-ец» в прозвище мог появиться как уменьшительная или уничижительная форма (маленькое сито, мелкий зябкий человек). Таким образом, полная цепочка: прозвище Зябелец → отчество Зябельцев → фамилия.

Интересная деталь: фамилия почти не встречается в центральных и южных губерниях России. Основной ареал — Тверская, Псковская и Новгородская области. Там же зафиксированы однокоренные фамилии Зяблев, Зябликов, Зяблов, но Зябельцев стоит особняком именно из-за суффикса «-ель-», который придаёт основе диалектный, почти архаичный оттенок. В переписях XIX века носители фамилии числились преимущественно государственными крестьянами, то есть лично свободными, но приписанными к общине. Среди дворянства фамилия не отмечена.

Так что, скорее всего, ваш предок был ремесленником-ситовейщиком или крестьянином с выразительным прозвищем, жившим на северо-западе России.