Фамилия Зятюгин звучит необычно, и её происхождение не лежит на поверхности. В её основе лежит редкое для фамилий слово «зять», которое обычно образует формы вроде Зятев или Зятьков. Суффикс -юг- здесь указывает на то, что перед нами не стандартная патронимическая модель, а скорее прозвищная, характерная для северных и северо-восточных русских говоров.

Скорее всего, прозвище Зятюга дали человеку, который был женат на дочери хозяина и жил в доме тестя. В крестьянском быту такое положение называли «примачеством» или «зятем-приёмышем». Зятюга — уничижительная или просторечная форма, подчёркивавшая зависимое положение мужчины, который работал на хозяйском дворе. В некоторых диалектах слово «зятюга» могло означать не просто родственника, а захребетника или нерадивого работника, которого терпят ради дочери.

Другая, менее вероятная версия отсылает к диалектному глаголу «зятюхать» — говорить путано, невнятно. В этом случае Зятюгой могли прозвать косноязычного человека. Однако с точки зрения словообразования и бытовой логики первая версия выглядит убедительнее: фамилия фиксирует социальный статус предка, а не его речевую особенность.

Фамилия редкая, встречается преимущественно в Вологодской, Архангельской и Кировской областях — именно там, где сохранялись архаичные формы родства и где примачество было распространённым явлением. В документах XVII–XVIII веков такие прозвища могли записывать как Зятюга, а потом, при переходе в фамилию, добавился стандартный суффикс принадлежности -ин, указывающий на «сына Зятюги».

Таким образом, предок носителя фамилии Зятюгин с большой вероятностью был зятем, который жил и работал в доме тестя, а его прозвище закрепилось за потомками как фамилия.