Фамилия Зявязкина — женская форма фамилии Зявязкин, и её разбор стоит начать с неочевидного корня. Основа «зявязк-» не встречается в современных словарях русского литературного языка, но прозрачно соотносится с диалектным глаголом «зявять» или «зявать» — то есть зевать, разевать рот, а также говорить невпопад, сбивчиво. В говорах северных и центральных областей России слово «зявяка» означало ротозея, человека, который постоянно зевает или говорит невнятно. Таким образом, прозвище Зявязка (или Зявязко) мог получить либо рассеянный, зевающий человек, либо — по второй линии — тот, кто имел привычку говорить громко, с раскрытым ртом, что в деревне считалось невоспитанностью.

Модель образования фамилии — классическая для восточнославянской антропонимии: к основе прозвища на -а/-я добавился патронимический суффикс -ин. Зявязка + -ин дало Зявязкин, то есть «сын Зявязки». Суффикс -ин в русских фамилиях традиционно прикреплялся к основам, оканчивающимся на гласный, и указывал на принадлежность к роду. Встречается и вариант с суффиксом -ов (Зявязков), но он гораздо реже и, скорее всего, возник в результате поздней канцелярской унификации.

Географически фамилия Зявязкина редкая и не имеет широкого ареала. В дореволюционных переписях она фиксируется в основном в Вятской и Пермской губерниях — на территории бывшего Вятского наместничества, где диалектная лексика сохранялась дольше всего. Именно там прозвища, образованные от звукоподражательных и глагольных корней, были особенно распространены. В современных телефонных справочниках и базах данных фамилия единична, что говорит о её древнем, но почти угасшем бытовании.

Словообразовательный нюанс: в фамилии Зявязкина двойной корневой з, что может указывать на интенсивное, повторяющееся действие (как «зяв-зяв» — многократное зевание). Это не опечатка и не удвоение от приставки — перед нами чисто диалектная фонетическая форма, где приставка отсутствует. Сравните с однокоренными фамилиями Зявкин, Зявягин, Зевякин — все они восходят к тому же кругу прозвищ, но Зявязкина выделяется суффиксальной цепочкой -я-з-к, что делает её более «длинной» и редкой.

Социально фамилия Зявязкина почти наверняка крестьянская. В дворянских родословных книгах она не встречается, и её основа — бытовое, нередко ироничное прозвище — типична для среды, где человека называли по заметной черте поведения, а не по профессии или имени отца. Никаких известных исторических деятелей с этой фамилией не зафиксировано, что лишь подтверждает её сугубо народное, «низовое» происхождение.