Фамилия Завязкина образована от прозвища Завязка, которое восходит к глаголу «завязывать». Значение этого прозвища стоит разобрать подробнее, потому что за ним стоит не одно, а как минимум два возможных занятия предка. Самое прямое и вероятное объяснение — ремесло. В крестьянском хозяйстве завязка была конкретной операцией: связывание снопов после жатвы, пучков льна или бобовых культур. Человек, который выполнял эту работу особенно ловко или постоянно, мог получить прозвище Завязка. Так что предок носительницы фамилии Завязкина мог быть жнецом или работником на гумне.

Однако у прозвища есть и второй, бытовой смысл. «Завязкой» в говорах называли не только процесс, но и предмет — верёвку, шнурок или тесьму, которой что-то стягивали. В этом случае прозвище мог получить торговец или изготовитель таких товаров: коробейник, продававший тесёмки, или ремесленник, их плевший. Оба варианта правдоподобны, но первый (по действию) встречается в ономастике чаще, поскольку прозвища по трудовому навыку давали охотнее, чем по предмету торговли.

Фамилия образована по стандартной русской модели: к основе Завязк- добавили суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Завязки). Форма Завязкина — женский вариант, но исторически фамилия закрепилась за родом в мужском роде: Завязкин. Такие фамилии на -ин типичны для северных и центральных областей России, где бытовала «кающая» форма притяжательных прилагательных. В южных и западных регионах чаще встречалась бы форма Завязков.

Сравнение с однокоренными фамилиями даёт дополнительную подсказку. В русских документах XVII–XVIII веков фиксируются прозвища Вязка, Связка, Развязка — все они образованы от тех же глагольных корней и относились либо к ремеслу, либо к характерной манере поведения (человек, который «всё вяжет», то есть медлителен или наоборот — связывает дела). Завязка среди них стоит особняком: это прозвище с более узким, конкретным значением, почти не имеющим переносного смысла. Поэтому версия о ремесленном происхождении фамилии выглядит наиболее убедительной.