Фамилия Завязкин происходит от прозвища Завязка. В основе — глагол «завязывать», и речь здесь не о простом узле, а о конкретном деле. Скорее всего, предок Завязкиных занимался связыванием снопов во время жатвы — вязал злаки, лён или бобовые. Это была важная сельскохозяйственная работа, требовавшая сноровки, и прозвище могло закрепиться за тем, кто делал её быстрее и аккуратнее других.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Завязкин буквально означает «сын Завязки». Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ или имён, оканчивающихся на -а/-я. В этом смысле фамилия стоит в одном ряду с Плетнёвым (от «плетень») или Веревкиным (от «верёвка»), хотя её основа более узкая и привязана к конкретному действию.

Менее вероятная, но возможная версия связывает прозвище Завязка с человеком, который любил всё завязывать в прямом смысле — например, мешки с товаром или тюки при перевозке. Но в крестьянском быту, где фамилия и возникла, привязка к жатве выглядит убедительнее.

Фамилия редкая, нечастотная. Её носители встречаются в центральных областях России и в Поволжье — там, где веками занимались земледелием. В дворянских родословных книгах Завязкины не значатся, что подтверждает крестьянское происхождение.