Фамилия Абиремкова — редкая и необычная по звучанию, что сразу наводит на мысль: её основа не исконно русская, а скорее всего, заимствованная или искусственно переосмысленная. Разбирать её стоит с конца, с суффикса. Форма на -ов указывает на русскую патронимическую модель: Абиремков — «чей?» — сын или потомок человека по прозвищу или имени Абиремок. Женский вариант Абиремкова образован по тому же правилу.

Ключевой вопрос — что такое «Абирем»? В русской ономастике это слово не фиксируется ни как имя, ни как прозвище. Наиболее правдоподобная версия — фамилия имеет тюркские или арабо-персидские корни. В тюркских языках есть имя Ибрагим (араб. Ибрахим), которое в просторечии могло звучать как Абрам, Абрем. Если добавить уменьшительный суффикс -ек, получится Абиремок — «маленький Абрам» или просто ласкательная форма. Подобные переделки встречались у крещёных татар или народов Поволжья, где русские суффиксы накладывались на иноязычную основу.

Менее вероятная версия — от прозвища, связанного с диалектным словом. В некоторых говорах «абирь» означало нечто кривое, изогнутое, но это слово не получило широкого распространения и не оставило следов в фамилиях. Скорее всего, перед нами пример адаптации восточного имени через русскую модель: редкую фамилию носили потомки человека, которого в быту звали Абиремком, а в документах записали с патронимическим суффиксом.

Географически фамилия встречается спорадически, чаще всего в регионах с историческим татарским или башкирским населением — например, в Оренбургской области или Татарстане. В дореволюционных списках она не прослеживается, что говорит о её позднем закреплении (не ранее XVIII века) и малой численности рода. Сословно предки могли быть государственными крестьянами или однодворцами — теми, кто нёс службу на южных границах и часто смешивался с местными народами.

Таким образом, Абиремкова — это «перекрёстная» фамилия: тюркское имя, обрусевшее через уменьшительный суффикс и русское окончание. Она не имеет отношения к библейскому Аврааму напрямую, но восходит к его арабизированной форме Ибрагим, что делает её редким памятником межэтнического контакта.