Фамилия Абзотов — одна из тех, что не сразу поддаётся расшифровке. Отбросьте типовой суффикс -ов («чей?» — сын Абзота), и останется основа Абзот. Это не тюркское и не славянское имя, а книжное, скорее всего, церковное, которое в быту сильно изменилось.

Самая надёжная версия: Абзот — народная форма библейского имени Аввакум. В церковнославянском языке оно звучало как Авакум. В русских говорах, особенно на севере и в старообрядческой среде, начальное «Ав» часто переходило в «Аб» (сравните: Авдей — Обдей, Авдотья — Овдотья). Вторая часть имени — «кум» — из-за редукции гласных могла стянуться до «кот» или «зот». Так Авакум превратился в Абзота. Косвенно эту цепочку подтверждает исторический факт: в актах XVII века встречается уменьшительная форма Абзютка — прямое производное от того же корня.

Вторая гипотеза — связь с греческим именем Авксентий (его краткая форма Аксён). Но переход «кс» в «з» встречается реже, чем замена «в» на «б», поэтому библейский Аввакум остаётся основным кандидатом.

Суффикс -ов указывает, что фамилия сложилась в великорусской среде не позднее XVII–XVIII веков. Носители фамилии Абзотовы исторически могли быть выходцами из старообрядческих общин Поморья или Приуралья: имя Аввакум, в честь протопопа-мученика, было там особенно почитаемо. Сегодня фамилия редкая, встречается в основном в Поволжье и на Урале — это косвенно подтверждает её связь с консервативной религиозной средой, сохранявшей архаичные формы имён.