Фамилия Абзоров — одна из тех, где на первый взгляд ясная основа оборачивается неожиданным поворотом. На слух она кажется производной от «абзац» — типографского термина. Но в русской ономастике фамилии от книжных понятий почти не образовывались, а если и возникали, то в среде духовенства, где давались «по смыслу» или от латинских слов. В случае с Абзоровым эта версия маловероятна: фамилия звучит слишком по-бытовому и не имеет семинарского оттенка.

Куда правдоподобнее тюркское происхождение. Основа «абзор» или «абзар» в ряде тюркских языков (татарском, башкирском, казахском) означает «скотный двор», «хлев» или «стойло». Человек мог получить прозвище Абзор (или Абзар) за то, что работал при скоте, был пастухом или содержал загоны. Суффикс -ов стандартно русифицировал тюркское прозвище, превратив его в фамилию. Географически такие фамилии чаще встречаются у татар, башкир и других народов Поволжья и Приуралья, что косвенно подтверждает и распространённость корня «абзар» именно в этих регионах.

Менее распространённая, но допустимая версия — от арабского имени Абзар (вариант Абзал), что значит «более достойный», «превосходный». В таком случае фамилия образована от личного имени, которое давали мальчикам в мусульманских семьях. Однако в тюркской среде имя Абзар встречается реже, чем прозвище по занятию, поэтому версия с «хлевом» выглядит бытовой и более надёжной для крестьянской среды, где фамилии и складывались.

Фамилия редкая и не имеет известных дворянских или купеческих ветвей. Её носители, скорее всего, происходят из крестьян или сельских работников, а сама фамилия закрепилась за одним родом где-то в XIX веке при массовой паспортизации. Сравните с однокоренными Абзаров, Абзалов — они чаще встречаются и тоже восходят к тому же корню, но с разными суффиксами или огласовками.