Фамилия Ачмиз ведёт начало от имени Ачмиз (в осетинской передаче Ацæмæз) — так звали одного из центральных персонажей нартского эпоса, цикл сказаний о котором сохранился у осетин, адыгов и других народов Кавказа. Имя нартского героя переводят как «гармоничный, постигающий гармонично»: в основе лежит представление о внутренней соразмерности и целостности. Родители, называя сына Ачмизом, желали ему не только физической силы, но и духовного равновесия — чтобы он стремился к совершенству в обеих сферах.

Словообразовательная модель фамилии проста: к основе Ачмиз прибавлен нулевой суффикс — то есть фамилия осталась в форме, близкой к исходному имени, без типичных русских суффиксов -ов, -ев или -ин. Такая модель встречается у фамилий, которые закрепились в письменных документах относительно поздно, уже в советское время, когда паспортная система фиксировала национальную форму имени без русификации.

Географически фамилия Ачмиз распространена прежде всего среди адыгов (черкесов) и абазин. Встречается в Кабардино-Балкарии, Адыгее, Карачаево-Черкесии, а также в диаспорах Ближнего Востока и Турции, куда потомки носителей фамилии переселились в XIX веке после Кавказской войны. Связь с нартским эпосом указывает на глубокую культурную традицию: имя героя перешло в родовое прозвание, а затем и в фамилию, сохранив память о древнем сюжете.

В ономастической литературе фамилию Ачмиз иногда сопоставляют с осетинской фамилией Ацæмæзты (Ацамазовы). Осетинский вариант образован по другой модели — с патронимическим суффиксом -ты/-та, но корень тот же. В адыгской среде имя Ачмиз могло также бытовать как личное, а фамилия закрепилась за одним из родов, сохранив архаичное звучание.