Фамилия Ачмиз, вероятно, происходит от имени Ачмиз (Ачмаз, Ацæмæз), которое носил один из героев нартского эпоса. Это имя можно перевести на русский язык как «гармоничный, постигающий гармонично». Скорее всего, родители назвали так сына, желая, чтобы в будущем он стремился как к физическому, так и к духовному совершенству.