Фамилия Адамашвили — типичный пример грузинской родовой модели, построенной по принципу «имя + суффикс принадлежности». Разбирать её стоит не с корня, а с суффикса, потому что именно он выдаёт географию и социальный контекст.

Основа фамилии — мужское имя Адамаш. Это не ошибка и не искажение библейского Адам, хотя внешнее сходство очевидно. В грузинской ономастике имя Адамаш существует как самостоятельная форма, возможно, образованная от того же корня, что и Адам, но с местным уменьшительным или ласкательным суффиксом -аш. Встречается оно в восточных регионах Грузии, особенно в Кахетии и Картли, где такие имена были в ходу у крестьян и мелких дворян.

Суффикс -швили (შვილი) в переводе с грузинского означает «дитя» или «сын». Вместе с именем Адамаш фамилия буквально читается как «сын Адамаша». Эта модель — одна из самых распространённых в Грузии: она охватывает примерно две трети всех грузинских фамилий. -швили указывает на происхождение от конкретного предка, а не на место жительства или ремесло, в отличие от суффиксов -дзе (тоже «сын», но чаще у западных грузин) или -ури/-ули (указывающих на местность).

Интересная деталь: фамилия Адамашвили не так частотна, как, скажем, Иванишвили или Георгашвили. Это говорит о том, что имя Адамаш не было повсеместным, а бытовало в узком кругу семей или в определённой местности. В дореволюционных метрических книгах и ревизских сказках носители этой фамилии встречаются в основном среди крестьянства и мещанства восточной Грузии, без признаков княжеского или дворянского титула.

Сравните с однокоренной фамилией Адамия (с суффиксом -ия, характерным для Мегрелии) — там основа та же, но модель другая, что сразу выдаёт западногрузинское происхождение. Адамашвили же — однозначно восточногрузинский вариант. Так что если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они жили в Кахетии или Картли, а родоначальником был человек по имени Адамаш — не обязательно библейский Адам, а свой, местный, с прозвищем или именем, которое в тех краях звучало обычно.