Фамилия Адршина — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет привычного набора суффиксов, которые сразу указывают на географию или сословие (например, -ов, -ев, -ский). Форма Адршина — это, скорее всего, женский вариант фамилии Адршин. Окончание -а в русских фамилиях обычно принадлежит женщинам, а мужская основа — Адршин.

Самая правдоподобная версия связывает основу «Адрш-» с искажённым или диалектным вариантом имени Адриан (лат. Hadrianus — «житель Адрии», «адриатический»). В русской народной среде имя Адриан часто сокращали до Адря, Адр, а суффикс -ин образовывал фамилию: Адрин → Адршин. Переход «ин» в «шн» — характерная черта северных и северо-западных говоров (сравните: Ильин — Ильишин, Кузьмин — Кузьмишин). То есть Адршин могло возникнуть как патроним от прозвищной формы Адрша, Адрыш — уменьшительного от Адриан.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркским корнем «адр» (редкий, особый) или с арабским «адр» (оправдание, извинение). Однако фамилия не имеет типичных тюркских суффиксов (-ов, -ев, -оглы), а основа «адрш» не встречается в известных списках тюркских имён. Поэтому версия с Адрианом выглядит убедительнее.

В дореволюционных источниках фамилия почти не фиксируется. Встречается она преимущественно в центральной России и Поволжье, что косвенно подтверждает связь с православным именем Адриан. Сословно носители фамилии, скорее всего, относились к крестьянам или мещанам — фамилия не имеет дворянских формантов и не упоминается в родословных книгах.

Итог: фамилия Адршина образована от народной формы имени Адриан через суффикс -ин и диалектное смягчение. Предки носителя, вероятно, были русскими крестьянами или горожанами, а сама фамилия — редкий пример живой народной этимологии, где церковное имя превратилось в неожиданное звучание.