Фамилия Адршина — редкая и неочевидная. В ней нет привычных формантов вроде -ов или -ский, которые сразу выдают географию или сословие. Перед нами, скорее всего, женская форма фамилии Адршин: окончание -а в русских фамилиях обычно указывает на женщину, а мужская основа — Адршин.

Самая убедительная версия происхождения ведёт к имени Адриан (лат. Hadrianus — «житель Адрии», «адриатический»). В народной среде это имя часто сокращали до Адря, Адр, а суффикс -ин образовывал фамилию: Адрин → Адршин. Переход «ин» в «шн» — типичная черта северных и северо-западных говоров (сравните: Ильин — Ильишин, Кузьмин — Кузьмишин). То есть Адршин могло возникнуть как патроним от прозвищной формы Адрша или Адрыш — уменьшительного от Адриан.

Менее вероятна связь с тюркским корнем «адр» (редкий, особый) или арабским «адр» (оправдание). Фамилия не имеет типичных тюркских суффиксов (-ов, -ев, -оглы), а основа «адрш» не встречается в известных списках тюркских имён. Версия с Адрианом выглядит куда правдоподобнее.

В дореволюционных источниках фамилия почти не фиксируется. Встречается она преимущественно в центральной России и Поволжье — это косвенно подтверждает связь с православным именем Адриан. Сословно носители фамилии, скорее всего, относились к крестьянам или мещанам: фамилия не имеет дворянских формантов и не упоминается в родословных книгах.

Итог простой: фамилия Адршина образована от народной формы имени Адриан через суффикс -ин и диалектное смягчение. Предки носителя, вероятно, были русскими крестьянами или горожанами, а сама фамилия — редкий пример живой народной этимологии, где церковное имя превратилось в неожиданное звучание.