Фамилия Адяева — женская форма, мужской вариант — Адяев. Её образовали по самой распространённой в русском языке модели: к основе прозвища или имени добавили суффикс -ев (после мягкого согласного). Основа здесь — Адяй.

Что стоит за этим именем? Адяй — это, скорее всего, разговорная, «домашняя» форма какого-то полного крестильного имени. Самый очевидный кандидат — Адриан (в просторечии Андриан или Адриян). В быту сложные для произношения имена часто усекали: Адриан превращался в Адрю, Адря, а затем и в Адя. Суффикс -ай в таких уменьшительных формах типичен для русского и украинского ономастикона (сравните: Михай, Сергай, Степай). Реже в основе может лежать имя Адам (форма Адай) или редкое каноническое имя Ад (если оно и существовало в святцах, то в виде Аддай). Словообразовательная модель простая: от имени или прозвища Адяй с помощью суффикса -ев получили фамилию.

Если отбросить версию с крестильным именем, остаётся прозвище. В южнорусских и украинских говорах «адяй» могло означать нечто вроде «едун», «тот, кто постоянно ест» (от глагола «адать» — есть, принимать пищу, слово с тюркским корнем, но прижившееся в диалектах). Прозвище давали человеку с отменным аппетитом или, наоборот, привередливому в еде. Вторая версия — возможная региональная альтернатива, но первая, с крестильным именем, выглядит основной, потому что прозвищная гипотеза опирается на довольно узкий диалектный глагол, который не везде был в ходу.

Географически фамилия Адяевых (и Адяевой) встречается разрозненно, но заметна в Поволжье и на Урале — в регионах, где было сильное смешение русского, тюркского и финно-угорского населения. Именно там «адать» как «есть» звучало естественно. Встречаются Адяевы и среди донских казаков, что тоже указывает на южнорусский или степной след. Эта региональная привязка — ключевая деталь: если ваши предки жили на юге или в Поволжье, прозвищная версия становится весомее; если в центральной России или на севере — почти наверняка перед нами форма от Адриана.

Таким образом, ваш предок по мужской линии мог носить либо уменьшительное имя от Адриана (Адама), либо прозвище, связанное с едой. Первая версия — основная, вторая — возможная региональная альтернатива.