Фамилия Агапутов — редкий случай, когда на стыке имён и прозвищ рождается неочевидная, но логичная форма. В её основе лежат два корня: греческое имя Агап (от агапе — «любовь») и древнерусское слово пут или путо — «путы», «оковы», «ремень для ног лошади». Соединение даёт «Агапут» — человека, которого либо «опутали любовью», либо, что прозаичнее, так прозвали за манеру ходить или за работу с конской сбруей.

Модель образования проста: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?»), то есть Агапутов — сын или потомок Агапута. В русской ономастике такие составные фамилии из двух корней встречаются реже, чем одноосновные, и часто несут отпечаток прозвищного происхождения. Человек по прозвищу Агапут мог быть либо конюхом, либо шорником, либо просто обладателем тяжёлой походки — «путливый» в смысле «заплетающий ноги».

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и центральным областям. В дореволюционных переписях Агапутовы встречаются в Тамбовской, Рязанской и Воронежской губерниях — в тех краях, где имя Агап было популярно среди крестьян, а «путо» как хозяйственный термин оставалось в ходу. Сословная принадлежность — почти исключительно крестьянство и мещанство; дворянских родов с такой фамилией нет.

Если сравнивать с однокоренными, то Агапутов стоит в ряду с Агаповым (от полной формы имени Агап) и Агапкиным (от уменьшительного Агапка). Но двойная основа делает Агапутова более «конкретным»: здесь имя не просто называет человека, а привязывает к действию или предмету. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» модель «имя + прозвище» описана как типичная для XVII века, когда прозвища ещё не успели застыть в отчествах. Агапутов — живой след той эпохи, когда человека могли назвать не по отцу, а по тому, как он стягивал путы на ногах коня.