Фамилия Агунцов — редкая, с неочевидной основой, и это как раз тот случай, когда разбор суффикса даёт больше, чем поиск корня. В ней типичный русский патронимический суффикс -ов, указывающий на принадлежность: «чей?» — Агунцов, то есть сын или потомок человека по имени или прозвищу Агунец. Вопрос упирается в то, что такое «Агунец».

Самая правдоподобная версия связывает основу с южнославянским или диалектным русским словом «агун» — так в некоторых говорах называли ягнёнка. В русских диалектах, особенно на юге и западе, начальное «я» могло переходить в «а»: ягнёнок — агнёнок, агун. Агунец — это уменьшительно-ласкательная форма, вроде «ягнёночек». Прозвище Агунец могли дать мягкому, кроткому человеку, либо, напротив, кудрявому, с вьющимися волосами, как шерсть ягнёнка. В ономастике такая модель хорошо известна: фамилии Ягнятков, Барашков, Агнцев — все из того же ряда.

Менее вероятна, но не исключена связь с тюркским именем Агун — в некоторых тюркских языках это слово означает «белый, чистый» или восходит к древнему антропониму. Однако для фамилии на -ов, образованной от прозвища на -ец, тюркское происхождение маловероятно: суффикс -ец характерен именно для русской и славянской модели, а не для заимствований напрямую.

Географически фамилия Агунцов встречается точечно — в основном на юге России, в Ростовской области и Краснодарском крае, что косвенно подтверждает связь с диалектной лексикой южнорусских говоров или с переселенцами из южнославянских регионов. В дореволюционных метрических книгах эта фамилия почти не фиксируется, что говорит о её позднем оформлении — скорее всего, в XIX веке, когда прозвища окончательно закреплялись в качестве наследственных фамилий у крестьян и мещан.

Таким образом, Агунцов — это «овечья» фамилия, но не в смысле профессии пастуха, а по прозвищу, данному за внешность или характер. Носитель такой фамилии мог быть человеком тихим и кудрявым, а его предки — крестьянами из южных губерний, где «агун» ещё помнили.