Фамилия Акмишев — один из тех редких случаев, когда на слух она звучит по-тюркски, но её морфология полностью русская. Суффикс -ев указывает на принадлежность: «чей?» — Акмишев, то есть сын или потомок человека по имени или прозвищу Акмиш. Основа фамилии — личное имя Акмиш, которое бытует в тюркоязычной среде, прежде всего у татар и башкир.

Само имя Акмиш (или Акмыш) состоит из двух корней: «ак» — белый, чистый, благородный, и «мыш» — в разных диалектах это может быть «мышь» (зверёк) или глагольная форма со значением «думающий», «размышляющий». Первая версия более правдоподобна: в тюркской антропонимии «ак» часто давали как пожелание чистоты и удачи, а вторая часть могла быть тотемным прозвищем (Белый мышонок) или оберегом. В любом случае, имя не было случайным — его давали с надеждой на светлую судьбу.

Географически фамилия Акмишев тяготеет к Волго-Уральскому региону: Татарстан, Башкортостан, Оренбургская и Челябинская области. Встречается она нечасто — это штучная, локальная фамилия, не разошедшаяся широко по стране. Скорее всего, предки носителя фамилии были крещёными татарами или мишарями, принявшими православие, но сохранившими родовое имя. В русской среде Акмишев мог появиться и через браки, и через переход в другую веру.

Словообразовательная модель здесь простая: тюркское личное имя плюс русский патронимический суффикс. Похожие фамилии — Акмурзин, Акчурин, Акбашев — строятся по тому же принципу: корень «ак» и второй компонент. Отличает Акмишева то, что вторая часть имени (мыш) встречается реже, чем, скажем, бай, бик или булат.

Сословно предки Акмишевых, скорее всего, относились к государственным или ясачным крестьянам, реже — к казачеству. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. В документах XIX века Акмишевы упоминаются в метрических книгах Оренбургской губернии как крестьяне и мещане.

Коротко: фамилия образована от тюркского имени Акмиш (белый, чистый + мышь/думающий), русифицирована суффиксом -ев. Носители — потомки тюркского населения Волго-Уралья, чаще всего татары или башкиры, принявшие православие.