Фамилия Акрыш — редкий случай, когда финаль -ыш указывает на тюркское происхождение, а не на русскую уменьшительную форму. В русских фамилиях суффикс -ыш обычно встречается в прозвищах (Малыш, Глупыш) и редко закрепляется в качестве фамильной основы. Здесь же перед нами, скорее всего, фамилия, образованная от тюркского имени или прозвища Аккыш или Акыш. Корень ак- по-тюркски означает «белый», «чистый», «благородный». Вторая часть -ыш может быть глагольным суффиксом, дающим значение действия, или частью личного имени.

Наиболее вероятная версия: Акрыш — это русифицированная форма тюркского имени Аккыш, что можно перевести как «белый соболь» или «белый горностай» (кыш — «соболь», «куница» у некоторых тюркских народов). Такие имена-тотемы давали детям, чтобы передать им качества ценного, быстрого или красивого зверя. Со временем конечное -к могло редуцироваться, а фамилия закрепилась в виде Акрыш через суффиксальную модель без добавления -ов/-ев, что типично для фамилий украинского или южнорусского пограничья, где тюркские заимствования оседали без славянских окончаний.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным русским словом «акрыть» (укрыть, спрятать) или «акрыш» (покрытие, крыша) в некоторых говорах. В этом случае фамилия могла быть прозвищем кровельщика или человека, занимавшегося укрытием сена, но тюркская этимология выглядит убедительнее из-за характерного звукового облика.

География фамилии Акрыш сегодня крайне узкая. Основные носители встречаются в Краснодарском крае и Ростовской области — регионах, где исторически смешивались русские, украинские и тюркские народы (ногайцы, крымские татары). Встречаются единичные случаи на юге Украины. Фамилия не имела дворянского статуса и, скорее всего, принадлежала крестьянам или казакам, воспринявшим тюркское прозвище через соседское общение.

С точки зрения словообразования, фамилия уникальна: она не вписывается ни в одну из массовых русских моделей (-ов, -ин, -ский) и сохранила «сырой» вид прозвища. Это делает её ценным маркером межэтнических контактов на южных рубежах России.