Фамилия Акриш — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение не лежит на поверхности. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий на -ов/-ев или -ин, окончание -иш указывает на иную, нерусскую модель. Скорее всего, перед нами фамилия, адаптированная русской письменностью, но имеющая тюркские или, возможно, греческие корни.

Самая вероятная версия — тюркское происхождение. В тюркских языках основа «ак» означает «белый», «чистый», «благородный». Вторая часть могла восходить к слову «кыш» (зима) или к личному имени. В таком случае Акриш — это фонетически изменённое «Ак-кыш» или «Аг-рыш», что могло быть прозвищем: «белая зима» (образное описание внешности или характера) либо «благородный странник» (от «ак» + «йөрү» — ходить). В пользу этой версии говорит то, что среди татар, башкир и других тюркских народов встречаются фамилии с похожей структурой — Акришев, Акришов. Если предки носителя фамилии были крещёными татарами или выходцами из Поволжья, фамилия могла утратить окончание -ев/-ов при русификации или, наоборот, сохраниться в усечённой форме.

Вторая, менее очевидная гипотеза — греческое происхождение. В греческом языке есть слово «άκρις» (акрис) — «вершина», «край», а также «άκριτος» (акритос) — «неразборчивый», «спорный». Фамилия могла появиться у греков Приазовья или Крыма, а затем через браки или переселение попасть в русскую среду. Однако в этом случае форма Акриш выглядит как искажение греческой основы при записи в русских документах, что менее типично, чем тюркский след.

Словообразовательный анализ показывает, что суффикс -иш не является продуктивным для русских фамилий. Он характерен для украинских (типа Гавриш, Демчиш) или для тюркских, где -ыш/-иш может быть частью корня или уменьшительным аффиксом. Таким образом, фамилия Акриш — скорее всего, не славянская по основе, а заимствованная, и её носители могут иметь корни в тюркском мире. Географически такие фамилии чаще встречаются в южных регионах России, в Татарстане и Башкортостане, но точных статистических данных по фамилии Акриш в открытых источниках нет, что подтверждает её редкость.