Фамилия Аксайчугова — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не черта характера, а географический объект. Она явно образована от названия реки или населённого пункта Аксай. Таких топонимов на юге России несколько: самый известный — река Аксай в Ростовской области (рукав Дона), а также реки в Дагестане и Чечне. Слово тюркское: «ак» — белый, «сай» — овраг, русло, балка. То есть «Белый овраг» или «Светлая балка».

Суффикс -чуг- в этой фамилии — редкая деталь. Обычно от названий рек и городов образовывали фамилии с суффиксами -ский/-цкий (Аксайский) или просто -ов/-ев (Аксаев). Форма Аксайчугов говорит о том, что предок носителя фамилии, скорее всего, происходил из казачьей или крестьянской среды, где такие «уменьшительные» или «притяжательные» суффиксы (как -чук, -чуг) встречались чаще. Возможно, фамилия означала «сын человека с Аксая» или «житель с Аксая», причём в диалектной, более народной огласовке.

Окончание -ова указывает, что перед нами женская форма. Мужская — Аксайчугов. Фамилия недворянская, скорее всего, поздняя (XVIII–XIX века), когда крестьянам и казакам массово присваивали фамилии по месту жительства. Географически она почти наверняка привязана к области Войска Донского или к Терскому казачеству, где топоним Аксай был распространён.

Встречается фамилия крайне редко. В открытых источниках нет сведений о массовом распространении или известных исторических носителях. Это типичная «местная» фамилия, которая могла закрепиться за одним родом или несколькими семьями в конкретной станице или хуторе. Если ваш предок носил её, он с высокой вероятностью был донским или терским казаком, а его прозвище по месту жительства со временем превратилось в фамилию с характерным южнорусским суффиксом.