Фамилия Алчагиров — редкий случай, когда географический ключ к разгадке лежит почти на поверхности. Её основа, «Алчагир», с высокой вероятностью восходит к названию местности — урочища или небольшого поселения. В ономастике такие фамилии называют топонимическими: их давали человеку, который переселился из одного места в другое, чтобы указать, откуда он родом. Например, крестьянин, перебравшийся из деревни Алчагир в соседнее село, получал прозвание «Алчагир», а его дети уже становились Алчагировыми.

Корень «алча» в тюркских языках (откуда, скорее всего, идёт слово) имеет два основных значения. Первое — «алчный, жадный», что могло стать прозвищем. Второе — название растения или породы дерева, что тоже могло лечь в основу топонима. Однако суффикс «-гир» в тюркских языках часто указывает на деятеля или обладателя признака («алчагир» — «тот, кто алчен» или «тот, кто связан с алчой»). Но в данном случае версия с личным прозвищем слабее: фамилия слишком явно «привязана» к конкретному звучанию, похожему на название места. Сравните с фамилиями типа Карагиров (от «кара» — чёрный и «гир»), которые тоже нередко ведут происхождение от местности.

Модель образования фамилии — патронимическая, с русским суффиксом «-ов». Это стандартная схема для фамилий, возникших у народов, вошедших в состав Российской империи, в частности на Северном Кавказе и в Поволжье. «Алчагиров» буквально значит «сын Алчагира». При этом само исходное слово «Алчагир» могло быть не личным именем, а прозвищем по месту выхода. Такой тип фамилий особенно характерен для осетин, кумыков и некоторых других тюркоязычных групп, где топонимы активно переходили в родовые имена.

Спорным остаётся вопрос, насколько древняя эта фамилия. Если она действительно топонимическая, то её носители — потомки людей, покинувших свой аул или хутор в XVIII–XIX веках. Если же в основе лежит прозвище, то фамилия могла возникнуть и раньше. Точных данных о дате первого упоминания нет, но сам тип фамилии (с «-ов») указывает на период после XVI века, когда такая модель стала массовой в русской и окраинных ономастиках. В любом случае, Алчагировы — это фамилия, которая хранит память о конкретном месте или характерной черте предка, и её редкость говорит о том, что род был не слишком многочисленным или компактно проживал на одной территории.