Фамилия Алчагирова — женская форма, образованная от мужской Алчагиров, и её разговор стоит начать не с суффикса, а с корня, который уводит нас в тюркский мир. В русском языке основа «Алчагир» не имеет прямого значения, но при разборе по частям проясняется её география — Северный Кавказ, Закавказье или Поволжье.

Первая часть, «алча», в тюркских наречиях означает «пёстрый» или «рябой» — вспомните алчу, пёструю ткань. Вторая, «-гир», — типичный тюркский суффикс, который встречается в именах и прозвищах и указывает на обладателя качества или деятеля (сравните с «алгыр» — «берущий»). Скорее всего, Алчагир — это прозвище: «пёстрый» по одежде, масти коня или внешности. Но есть и другая версия: имя-оберег. Пёстрый, рябой — некрасивый, а значит, неинтересный для злых духов, и такое имя давали ребёнку, чтобы защитить его.

Фамилия редкая, в списках массовых русских фамилий её нет. Её носители, вероятно, происходят из тюркоязычных народов: кумыков, ногайцев, карачаевцев, балкарцев или азербайджанцев. В XIX — начале XX века, когда эти народы переходили на русскую систему фамилий, прозвища оформляли суффиксом -ов, а для женщин добавляли окончание -а. Ударение, скорее всего, падает на последний слог — Алчаги́рова, что типично для тюркских заимствований.

Посмотрите на однокоренные фамилии: Алчаков, Алчаев, Алчиев — все они восходят к той же основе «алча» и бытуют в тех же регионах. Если вы ищете корни Алчагировых, обращайте внимание на горные аулы Дагестана или степи Ставрополья — там эта фамилия встречается чаще всего. В дореволюционных метрических книгах она могла записываться с вариациями: Алчагеров, Алчагировъ.