Фамилия Алчагирова — женская форма мужской фамилии Алчагиров. В русской традиции фамилии на -ов/-ев образуются от патронимов (отчества) или прозвищ. Основа «Алчагир» в русском языке не имеет очевидной этимологии, но при ближайшем рассмотрении выводится из тюркских языков, что указывает на географию происхождения — Северный Кавказ, Закавказье или Поволжье.

Разбираем корень. «Алча» в тюркских наречиях может означать «пёстрый», «рябой» (ср. алча — пёстрая ткань) или быть частью сложного имени. Вторая часть «-гир» — типичный тюркский суффикс, часто встречающийся в именах и прозвищах со значением «человек, обладающий качеством» или «делающий что-либо» (например, «алгыр» — «берущий»). Таким образом, Алчагир — это либо прозвище «пёстрый» (по одежде, масти лошади или внешности), либо имя-оберег, которое давали ребёнку, чтобы отвести от него злые силы (пёстрый, рябой — некрасивый, а значит, неинтересный для духов).

Фамилия редкая, в списках массовых русских фамилий не встречается. Её носители, скорее всего, происходят из народов, говорящих на тюркских языках: кумыков, ногайцев, карачаевцев, балкарцев или азербайджанцев. В XIX — начале XX века, при переходе на русскую систему фамилий, такие прозвища оформляли русским суффиксом -ов, добавляя окончание -а для женщин. Обратите внимание: ударение, скорее всего, падает на последний слог — Алчаги́рова, что типично для тюркских заимствований в русском языке.

Сравните с однокоренными фамилиями: Алчаков, Алчаев, Алчиев — все они восходят к той же основе «алча» и бытуют в тех же регионах. Если ваши предки — Алчагировы, ищите их корни в горных аулах Дагестана или в степях Ставрополья: там эта фамилия встречается чаще всего. В дореволюционных метрических книгах она могла записываться с вариациями — Алчагеров, Алчагировъ.