Фамилия Алекменский — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В ней сразу бросается в глаза суффикс -ский, который в русской ономастике чаще всего указывает на географическую привязку: такую фамилию мог получить человек, владевший землёй или живший в населённом пункте с похожим названием. Скорее всего, основа — Алекмен- — это искажённое или диалектное имя собственное, от которого образовано название места.

Наиболее правдоподобная версия возводит фамилию к имени Алексей (через народные формы вроде Алекса, Алекся). В русских говорах согласный мог упрощаться или меняться: Алексей → Алекмен. Прибавка суффикса -ск- и окончания -ий дала типичную «дворянскую» или «географическую» модель — фамилию, указывающую на принадлежность к селу или усадьбе Алекменки или Алекменское. Такие топонимы могли возникнуть от прозвища первопоселенца или владельца — Алекмена, что является вариантом того же Алексея.

Менее вероятна, но возможна связь с тюркским или финно-угорским корнем. В некоторых тюркских языках есть слово alık (дурак, глупец) или alıkman (непослушный), но в русской среде фамилия с таким значением и суффиксом -ский выглядит искусственной — её скорее дали бы по местности, а не по прозвищу. К тому же, географические названия на -менск- встречаются в Поволжье и на Урале, где было смешение славянских и финно-угорских племён.

Сословно фамилия Алекменский не обязательно дворянская. Хотя суффикс -ский типичен для шляхты и духовенства, в XIX веке его массово получали крестьяне и мещане при переписях — просто по названию деревни, где жили. Если предки ваши были из села с похожим именем, фамилия могла закрепиться за целым родом независимо от богатства.

Проверить версию можно через географию. Поищите в старых картах и ревизских сказках населённые пункты Алекменка, Алекменское или Алекменово — особенно в центральной России и на юге (Курская, Орловская, Воронежская губернии). Если такой топоним найдётся, происхождение фамилии будет практически доказано. Если нет — скорее всего, перед нами редкий случай, когда имя Алексей дало нестандартную, но логичную форму с диалектной перестройкой.