Фамилия Алжиков — редкий случай в русской ономастике, и её разбор стоит начать не с корня, а с географии. Основной массив носителей сосредоточен на Северном Кавказе, в первую очередь в Кабардино-Балкарии и Карачаево-Черкесии. Это сразу подсказывает, что фамилия, скорее всего, не великорусская по происхождению, а тюркская или кавказская, русифицированная с помощью стандартного суффикса -ов.

Основа «Алжик» восходит к тюркскому имени или прозвищу. В тюркских языках корень «алжы» (или «алчы») имеет значение «усталый», «измученный», «обессиленный». В переносном смысле так могли назвать человека терпеливого, много работающего или пережившего тяжёлые времена. Возможна и другая версия: «алжы» — это вариант имени Алжас, где «ал» означает «герой», «богатырь», а «жас» — «возраст», «молодость». Тогда Алжик — это уменьшительно-ласкательная форма от «молодой герой» или «доблестный юноша».

Суффикс -ик в основе — типичный тюркский уменьшительный аффикс, который придаёт имени оттенок ласки или принадлежности к младшему поколению. Русский суффикс -ов просто «пришил» фамилию к общероссийской модели, что произошло в XIX–XX веках при паспортизации горских народов. Поэтому предки современных Алжиковых могли быть кабардинцами, балкарцами или карачаевцами, чьё родовое имя или прозвище записали на русский лад.

В русском контексте фамилия выглядит как искусственное образование: корень «алжик» не имеет славянской этимологии и не связан с Алжиром или алжирцами, как можно было бы подумать по созвучию. Это чисто региональная фамилия, которая за пределами Кавказа почти не встречается. Её носители — потомки людей, получивших фамилию по личному имени Алжик, которое со временем вышло из активного употребления.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, что модель образования у Алжиковых не уникальна: на Кавказе множество фамилий на -ов, образованных от тюркских личных имён с уменьшительным суффиксом -ик (например, Ажиков, Ашиков). Однако именно Алжиков выделяется тем, что его основа допускает две противоположные трактовки — от «усталого» до «героя», и обе одинаково правдоподобны с лингвистической точки зрения. Выбор между ними зависит от того, какое именно тюркское наречие было родным для первого носителя: в одних диалектах «алжы» — это усталость, в других — искажённое «алгыр» (ловкий, смелый). Точную версию без записи родового предания уже не восстановить.