Фамилия Алжиков — редкий случай в русской ономастике, и её разбор стоит начать не с корня, а с географии. Основной массив носителей сосредоточен на Северном Кавказе, в первую очередь в Кабардино-Балкарии и Карачаево-Черкесии. Это сразу подсказывает, что фамилия, скорее всего, не великорусская по происхождению, а тюркская или кавказская, русифицированная с помощью стандартного суффикса -ов.

Основа «Алжик» восходит к тюркскому имени или прозвищу. В тюркских языках корень «алжы» (или «алчы») имеет значение «усталый», «измученный», «обессиленный». В переносном смысле так могли назвать человека терпеливого, много работающего или пережившего тяжёлые времена. Возможна и другая версия: «алжы» — это вариант имени Алжас, где «ал» означает «герой», «богатырь», а «жас» — «возраст», «молодость». Тогда Алжик — это уменьшительно-ласкательная форма от «молодой герой» или «доблестный юноша».

Суффикс -ик в основе — типичный тюркский уменьшительный аффикс, который придаёт имени оттенок ласки или принадлежности к младшему поколению. Русский суффикс -ов просто «пришил» фамилию к общероссийской модели, что произошло в XIX–XX веках при паспортизации горских народов. Поэтому предки современных Алжиковых могли быть кабардинцами, балкарцами или карачаевцами, чьё родовое имя или прозвище записали на русский лад.

В русском контексте фамилия выглядит как искусственное образование: корень «алжик» не имеет славянской этимологии и не связан с Алжиром или алжирцами, как можно было бы подумать по созвучию. Это чисто региональная фамилия, которая за пределами Кавказа почти не встречается. Её носители — потомки людей, получивших фамилию по личному имени Алжик, которое со временем вышло из активного употребления.