Фамилия Алжинский обманчиво проста: её африканское звучание — ловушка. Связь с Алжиром маловероятна для русского ономастикона. Фамилии на -ский от названий стран возникали либо у дворян (по поместью), либо у семинаристов, но «алжирский» предок не вписывается в типовые модели. Гораздо убедительнее тюркский корень «алж-»: «ал» означает «алый, красный», а суффикс «-жы» указывает на деятеля. «Алжы» — это «красный» или «тот, кто красит в красное». Отсюда Алжинский — русифицированная форма прозвища, закрепившегося за красильщиком, торговцем красным товаром или просто рыжим человеком.

Суффикс -ский выдаёт польское или украинское происхождение, либо позднее оформление в дворянской или духовной среде. В Российской империи такие фамилии давали семинаристам, но «Алжинский» не похож на искусственную семинарскую конструкцию (те брали от церковных праздников или латыни). Скорее, фамилия возникла на южных или восточных окраинах, где тюркские прозвища переделывали на польский манер.

Есть и прозаичная версия: от названия населённого пункта. В России и на Украине встречаются топонимы вроде Алжино, Алжанка, Алжань. Если предок был выходцем оттуда, его могли записать как Алжинского — по месту жительства. Эта модель типична для помещиков и крестьян при переписи.

Какую версию считать основной? Тюркское прозвище — самая надёжная: она объясняет и редкий корень, и суффикс, и регион бытования. Фамилия встречается нечасто, в основном в южных областях России и на Украине. Её носители — потомки людей, получивших прозвище по цвету или занятию, а не по далёкой стране.