Фамилия Амшинская — женская форма, её мужской вариант Амшинский. Окончание на -ский сразу выдает происхождение: в отличие от массовых крестьянских фамилий на -ов/-ев, фамилии с этим суффиксом в XVIII–XIX веках чаще носили дворяне, духовенство или мещане, особенно на землях бывшей Речи Посполитой. Но здесь польская модель прилагательного наложилась на совсем не славянскую основу.

Основа фамилии — Амшин(а) — ведет к названию города Амшен (Хемшин) в исторической области Западная Армения, сейчас на северо-востоке Турции. От этого топонима произошел этноним «амшенцы» или «хемшины» — субэтническая группа армян, принявших ислам, но сохранивших армянский язык и культуру. Переселения амшенцев в Российскую империю активно шли в XIX веке, особенно после русско-турецких войн. Они оседали в Черноморской губернии, на Кубани, в Крыму и Закавказье.

Носители фамилии Амшинский/Амшинская — скорее всего, потомки амшенских армян, получившие фамилию по месту происхождения. Фамилия могла возникнуть в среде армянского духовенства или купечества: оформляя документы на русском языке, они использовали характерный польско-украинский суффикс -ск-. Встречается фамилия преимущественно на юге России и в Краснодарском крае — это прямо совпадает с маршрутами миграции амшенцев.

Редкий суффикс -ск- в сочетании с нетипичной для славянских языков основой делает фамилию ярким маркером этнической истории. Если ищете корни, стоит заглянуть в метрические книги армянских церквей Черноморского побережья второй половины XIX века — именно там, вероятно, и записали первую Амшинскую.